Mathematische Kuriositäten

[wtf]

Eines meiner Lieblingsbeispiele für Mengen, die mind-blowing sind: die Cantormenge. Aufgrund der vielen Formeln zitiere ich aus Wikipedia:
“Die Cantormenge lässt sich mittels folgender Iteration konstruieren:Man beginnt mit dem abgeschlossenen [Links nur für registrierte Nutzer] der [Links nur für registrierte Nutzer] von 0 bis 1. Aus diesem Intervall wird das offene mittlere Drittel entfernt (weggewischt), also alle Zahlen, die strikt zwischen 1/3 und 2/3 liegen. Übrig bleiben die beiden Intervalle und . Aus diesen beiden Intervallen wird wiederum jeweils das offene mittlere Drittel entfernt und man erhält nun vier Intervalle: , , und . Von diesen Intervallen werden wiederum die offenen mittleren Drittel entfernt. Dieser Schritt wird unendlich oft wiederholt.
Mithilfe der Funktion
die beliebige Teilmengen des Intervalls wieder in Teilmengen von abbildet, lässt sich das Wegwischen des mittleren Drittels formalisieren. Dabei werden [Links nur für registrierte Nutzer] und Skalierung einer Menge elementweise vorgenommen.
Man geht aus von der Menge und setzt
für .Der Schnitt all dieser Mengen ist dann die Cantormenge
,und es ist . Die Cantormenge besteht somit aus allen Punkten, die jedes Wegwischen überlebt haben. Im Grenzfall (Schnitt über alle -ten Wischmengen, ) ist der Anteil am ursprünglichen Intervall Null, obwohl noch immer überabzählbar viele Elemente vorliegen. Dieses Konstruktionsverfahren ist verwandt mit dem für die [Links nur für registrierte Nutzer].
Explizite Formeln für die Cantormenge sind^{[Links nur für registrierte Nutzer]}
,wo jedes mittlere Drittel als das offene Intervall per [Links nur für registrierte Nutzer] aus dem abgeschlossenen Intervall gelöscht wird, oder
wo das mittlere Drittel aus dem abgeschlossenen Vorgänger-Intervall per [Links nur für registrierte Nutzer] mit der [Links nur für registrierte Nutzer] entfernt wird.“

Die so entsthende Menge ist:

• [Links nur für registrierte Nutzer], [Links nur für registrierte Nutzer], [Links nur für registrierte Nutzer] (ein „Diskontinuum“) und [Links nur für registrierte Nutzer];
• eine [Links nur für registrierte Nutzer]-[Links nur für registrierte Nutzer];
• [Links nur für registrierte Nutzer] und hat eine nichtganzzahlige [Links nur für registrierte Nutzer] (ist also ein [Links nur für registrierte Nutzer]);
• [Links nur für registrierte Nutzer] zum [Links nur für registrierte Nutzer] (der Menge aller reellen Zahlen), also insbesondere [Links nur für registrierte Nutzer].

Dafür gibt es normalerweise eine vierwöchige Sperre wegen Dummendemütigung. Du wurdest gewarnt.

[Differentialgeometer]

Dafür gibt es normalerweise eine vierwöchige Sperre wegen Dummendemütigung. Du wurdest gewarnt.

Ok, verstanden!

[Haspelbein]

Dafür gibt es normalerweise eine vierwöchige Sperre wegen Dummendemütigung. Du wurdest gewarnt.

Zumindest die Koch-Kurve war mir als ein Standardbeispiel für eine fraktale Struktur bekannt. Ansonsten ja, die Begeisterung des Forums wird sich wahrscheinlich in einem gewissen Rahmen halten.

[Querfront]

Eines meiner Lieblingsbeispiele für Mengen, die mind-blowing sind: die Cantormenge. Aufgrund der vielen Formeln zitiere ich aus Wikipedia:
“Die Cantormenge lässt sich mittels folgender Iteration konstruieren:Man beginnt mit dem abgeschlossenen [Links nur für registrierte Nutzer] der [Links nur für registrierte Nutzer] von 0 bis 1. Aus diesem Intervall wird das offene mittlere Drittel entfernt (weggewischt), also alle Zahlen, die strikt zwischen 1/3 und 2/3 liegen. Übrig bleiben die beiden Intervalle und . Aus diesen beiden Intervallen wird wiederum jeweils das offene mittlere Drittel entfernt und man erhält nun vier Intervalle: , , und . Von diesen Intervallen werden wiederum die offenen mittleren Drittel entfernt. Dieser Schritt wird unendlich oft wiederholt.
Mithilfe der Funktion
die beliebige Teilmengen des Intervalls wieder in Teilmengen von abbildet, lässt sich das Wegwischen des mittleren Drittels formalisieren. Dabei werden [Links nur für registrierte Nutzer] und Skalierung einer Menge elementweise vorgenommen.
Man geht aus von der Menge und setzt
für .Der Schnitt all dieser Mengen ist dann die Cantormenge
,und es ist . Die Cantormenge besteht somit aus allen Punkten, die jedes Wegwischen überlebt haben. Im Grenzfall (Schnitt über alle -ten Wischmengen, ) ist der Anteil am ursprünglichen Intervall Null, obwohl noch immer überabzählbar viele Elemente vorliegen. Dieses Konstruktionsverfahren ist verwandt mit dem für die [Links nur für registrierte Nutzer].
Explizite Formeln für die Cantormenge sind^{[Links nur für registrierte Nutzer]}
,wo jedes mittlere Drittel als das offene Intervall per [Links nur für registrierte Nutzer] aus dem abgeschlossenen Intervall gelöscht wird, oder
wo das mittlere Drittel aus dem abgeschlossenen Vorgänger-Intervall per [Links nur für registrierte Nutzer] mit der [Links nur für registrierte Nutzer] entfernt wird.“

Die so entsthende Menge ist:

• [Links nur für registrierte Nutzer], [Links nur für registrierte Nutzer], [Links nur für registrierte Nutzer] (ein „Diskontinuum“) und [Links nur für registrierte Nutzer];
• eine [Links nur für registrierte Nutzer]-[Links nur für registrierte Nutzer];
• [Links nur für registrierte Nutzer] und hat eine nichtganzzahlige [Links nur für registrierte Nutzer] (ist also ein [Links nur für registrierte Nutzer]);
• [Links nur für registrierte Nutzer] zum [Links nur für registrierte Nutzer] (der Menge aller reellen Zahlen), also insbesondere [Links nur für registrierte Nutzer].

Holy Shit, mit welcher Schriftart bekommst du diese Formeln hier reingehackt

[Haspelbein]

Holy Shit, mit welcher Schriftart bekommst du diese Formeln hier reingehackt

Das sind auf Wiki-gehostete Bilder.

[Differentialgeometer]

Zumindest die Koch-Kurve war mir als ein Standardbeispiel für eine fraktale Struktur bekannt. Ansonsten ja, die Begeisterung des Forums wird sich wahrscheinlich in einem gewissen Rahmen halten.

Ach naja, hier wird ja auch ein Haufen Scheiss gepostet - 100% erreicht man nie.

[Differentialgeometer]

Holy Shit, mit welcher Schriftart bekommst du diese Formeln hier reingehackt

Was der Mod schrieb; deswegen copy & paste - das selbst reinklöppeln ist am Ende unleserlich.

[KatII]

Zumindest die Koch-Kurve war mir als ein Standardbeispiel für eine fraktale Struktur bekannt. Ansonsten ja, die Begeisterung des Forums wird sich wahrscheinlich in einem gewissen Rahmen halten.

Die Fibonacci-Spirale ist eine der einfachsten fraktalen Strukturen und leicht zu verstehen.

[Haspelbein]

Die Fibonacci-Spirale ist eine der einfachsten fraktalen Strukturen und leicht zu verstehen.

Nur hilft die Koch Kurve mit seinem iterativen Ansatz eben beim Verständnis der Cantormenge, weshalb sie ja auch im Wiki-Artikel erwähnt wurde.

[Differentialgeometer]

Die Fibonacci-Spirale ist eine der einfachsten fraktalen Strukturen und leicht zu verstehen.

Die Fibonaccifolge ist per se erstmal kein Fraktal, wenn ich mich jetzt recht erinnere.... müsste ich aber auch erstmal nachschlagen.