Einfache mathematische

[-jmw-]

Ja Und ? Hat Harun sevda Peker auch nicht gemacht. [...]

Hat mich wohl nie zitiert und also hab ich's nicht gemerkt.

[Leibniz]

Ich liebe deine Ihre Entscheidung zu hören, weil die Theorie der Wahrscheinlichkeit und statistische Mathematik, ich weiß nicht viel ...
--------------------------
Sie freaking Funktion hat nur ein Argument - die Zeit ..

Es sieht so aus. Tatsächlich ist es jedoch ein Zustandsvektor eines Hilbertraums.
[Links nur für registrierte Nutzer]

[Revenant]

Also ich bin keine Mathematikerin, aber 0,9999... ist für mich NICHT gleich 1!
0,9999... hat 1 als Grenzwert, erreicht diesen aber erst im "Unendlichen". Letzteres ist in der Mathematik zwar ein Begriff, aber keine Zahl. Die Infinitesimalrechnung basiert ganz wesentlich darauf, dass man Grenzwert und Funktionswert unterscheidet. Dass dieser Unterschied im realen Leben meist keine Beachtung findet, ist eine andere Sache.

[Hrafnaguð]

2+2=5!

[hic]

Herr ...
Kürzlich fragte ich die Aufgabe, den US-Foren ..
Ich lache bis jetzt ..

-------------------------------------------
Wir haben zwei Zahlen:

A = 1
B =,99999999999 ... (usw.)

------------------------------------------
Diese beiden Zahlen gleich sind oder nicht?

Beweisen Sie, dass mathematisch.

Also ich bin Mathematiker und werde es nun beantworten. 1 und 0,9999... sind ein und die selbe Zahl. Warum?
Eine Zahl in Dezimaldarstellung x_j x_j-1 ... x₁ x₀, x_-1 x_-2 ... mit xi aus {0, 1, ..., 9}, i aus {... , -2, -1, 0, 1, ..., j} ist nichts anderes die Summe
x_j*10^j + x_j-1*10^j-1 + x_j-2*10^j-2 + ...

Also ist
0,9999.... = 9 * 1/10 + 9 * 1/100 + 9 * 1/1000 + ... = 9/10 * 1 + 9/10 * 1/10 + 9/10 * 1/100 + ...
= 9/10 * ( 1 + 1/10 + 1/100 + ... )

Der Ausdruck in Klammern ist die geometrische Reihe mit Quotient q=1/10. Und wegen |q|=|1/10|=1/10<1 hat sie den realen Grenzwert
1/(1-q)=1/(9/10)=10/9
(Der Beweis für den Grenzwert geometrischer Summen ist sehr einfach. Jeder Mathematik-Student lern ihn im ersten Semester.)

Also haben wir zusammengefasst:
0,9999... = 9/10 * 10/9 = 1

Beweis fertig! Quod erat demonstrandum!

Zu meiner Klippschul-Zeit war die Notation für "Null-Komma-Neun-Neun-Periode" 0,99 - so, und nicht anders. Auch nicht, wie es mit nur einer Dezimalstelle und dem Oberstrich in der Wikipedia steht.

Aber können Bruchzahlen jemals exakt den Wert ihrer gerundeten Dezimal-Äquivalente annehmen? Vielleicht unter allgemein gültigen, aber schwer begreiflichen Annahmen, die auch zum Postulat führen, dass sich Parallelen in der Unendlichkeit überschneiden.

Den Begriff Dezimal-Äquivalent gibt es nicht. Ich hab ihn jedenfalls während meines ganzen Studiums nicht einmal gehört. Nun, jede Bruchzahl, also rationale Zahl lässt sich in Dezimalschreibweise exakt darstellen. Gegebenenfalls brauchen wir den Periode-Strich. Wenn du auf eine bestimmte Stelle hinterm Komma runden willst, so ist dies bei einer Bruchzahl nur dann möglich, wenn (ggf. nach Kürzung des Bruchs) der Nenner des Bruch keine anderen Primfaktoren als 2 und 5 hat.
Anders sieht es aus bei irrationalen Zahlen wie z.B. pi, die eulersche Zahl e oder die Wurzel aus 2. Es ist unmöglich, diese Zahlen in Dezimalschreibweise exakt darzustellen. Sie haben weder endlich viele Nicht-Null-Nachkommastellen, noch besitzen sie irgendeine periodische Abfolge von Nachkommastellen. Sie lassen sich nur näherungsweise darstellen:
pi=3,14..., e=2,718..., wurzel(2)=1,41...

Wo du dieses Postulat her hast, weiß ich nicht. Physiker behaupten zwar, dass sich parallele Geraden im Unendlichen schneiden, aber das tun sie nicht. Physiker schummeln da gerne mal ein wenig. Wir Mathematiker wissen, dass parallele Gerade immer parallel bleiben.

Eine Gegenfrage:
Sei A eine zufällige reelle Zahl.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A Element der rationalen Zahlen ist?

Lässt sich nicht beantworten ohne weitere Definition. Wir brauchen dazu ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Nehmen wir z.B. als Wahrscheinlichkeitsmaß das durch die Normalverteilung induzierte Maß, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass A rational ist, gleich null.

Also ich bin keine Mathematikerin, aber 0,9999... ist für mich NICHT gleich 1!
0,9999... hat 1 als Grenzwert, erreicht diesen aber erst im "Unendlichen". Letzteres ist in der Mathematik zwar ein Begriff, aber keine Zahl. Die Infinitesimalrechnung basiert ganz wesentlich darauf, dass man Grenzwert und Funktionswert unterscheidet. Dass dieser Unterschied im realen Leben meist keine Beachtung findet, ist eine andere Sache.

Ein Grenzwert kann eine Zahl sein, muss es aber nicht. Doch in diesem Fall ist der Grenzwert auch eine Zahl. Man muss unterscheiden zwischen bestimmten Grenzwerten und unbestimmten Grenzwerten. Bei reellen Folgen sind bestimmte Grenzwerte wiederum reelle Zahlen, während unbestimmte Grenzwerte "unendlich" bzw. "minus unendlich" sind. Letztere sind in der Tat keine Zahlen (Begriffe schon, wobei es aber noch viel mehr Begriffe von "unendlich" in der Mathematik gibt). In unserem Fall haben wir aber 1 als Grenzwert, also eine Zahl. 1 und 0,9999... sind sehr wohl dasselbe.
Richtig, Grenzwerte und Funktionswerte sind völlig verschieden Dinge. Ich weiß, ehrlich gesagt auch nicht, wer diese vermischen sollte. Wie kommst du darauf?

[hic]

Lies dir doch mal die Parabel von Hilberts Hotel durch.

---

Das hat doch nichts mit dem Hilbert-Hotel zu tun. Beim Hilbert-Hotel geht es um Paradoxa der abzählbaren Unendlichkeit.