Towarish hatte neulich einen Witz gemacht:

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Neulich habe ich einen Witz "Ich wäre zu 1/7 Jude" gemacht und die Meisten haben es vermutlich geglaubt.
Ich habe darüber nachgedacht, ob und wie man eigentlich einen Siebteljuden heranzüchten könnte:

Wir beschreiben den Grad des »Jüdischseins« mit einer reellen Zahl x zwischen 0 und 1 (einschließlich), wobei 0 ein reiner Goi und 1 ein reiner Jude sein soll. Ein x-tel Jude sei ein Mensch mit einem Grad des Jüdischseins von x.

Wenn wir einen 0-tel Juden (einen Goi) mit einem 1-tel Juden (einem reinen Juden) paaren, bekommen wir einen 0,5-tel Juden als Nachwuchs, also einen Halbjuden. Wenn wir einen 0,5-tel Juden mit einem 1-tel Juden paaren, bekommen wir einen 0,75-tel Juden, also einen Dreivierteljuden.

Allgemein bekommen wir durch Paaren eines x-tel Juden mit einem y-tel Juden einen (x + y) / 2 - tel Juden.

Wenn wir der Einfachheit halber davon ausgehen, es habe ursprünglich eine Population gegeben, die aussschließlich aus 0-tel und 1-tel Juden, also reinen Gois und reinen Juden, bestand, folgt daraus leicht durch vollständige Induktion, daß bei jedem existierenden x-tel Juden die Zahl x durch einen abbrechenden »Dezimalbruch« zur Basis 2 darstellbar ist; in anderen Worten, x < 1 läßt sich in der Form

x = a_1 * 2^{-1} + a_2 * 2^{-2} + ...

schreiben, wobei die a_i entweder 0 oder 1 sind und die Reihe irgendwann abbricht.

Dafür schreiben wir dann x wie einen Dezimalbruch, indem wir die a_i einfach hintereinanderhängen:

x = 0,0101100...

1/2 ist also einfach = 0,1, 3/4 = 0,11, usw.


Welchen Dezimalbruch zur Basis 2 hat nun 1/7? Nun, aus der geometrischen Reihe ergibt sich

1 / 7 = 1 / (2^3 - 1) = 2^{-3} * (1 / 1 - 2^{-3}) =
= 2^{-3} * (1 + 2^{-3} + 2^{-6} + 2^{-9} + ...)
= 2^{-3} + 2^{-6} + 2^{-9} + ...

Es ergibt sich also:

1 / 7 = 0,001001001001001...

Der Dezimalbruch zur Basis 2 bricht nicht ab, der Siebteljude existiert also tatsächlich nicht.


Aber wir brauchen nicht zu verzagen, denn wir können zumindest versuchen, eine Folge von x-tel Juden heranzuzüchten, deren Grad des Jüdischseins gegen 1/7 konvergiert!

Hierzu konstruieren wir eine Folge von x_i-tel Juden folgendermaßen:

Wir beginnen mit einem Goi, also x_0 := 0. Wir paaren nun sukzessive x_i mit einem c_i-tel Juden, wobei aber aus praktischen Gründen c_i stets entweder = 1 oder 0 sei, also entweder ein reiner Jude, oder ein reiner Goi.

Man wähle nun

c_i = 1 , wenn i durch 3 teilbar ist, und
c_i = 0 , wenn i nicht durch 3 teilbar ist.

Dann erhalten wir diese Folge:

x_0 = 0
x_1 = 0,1
x_2 = 0,01
x_3 = 0,001
x_4 = 0,1001
x_5 = 0,01001
x_6 = 0,001001
x_7 = 0,1001001
x_8 = 0,01001001
x_9 = 0,001001001


Offensichtlich konvergiert die Teilfolge, die sich aus den durch drei teilbaren Indizes ergibt, gegen 1/7:

x_3k -> 0,001001001001001...

Nach jeder dritten Generation erhalten wir also einen Menschen, den man mit immer mehr Recht als einen Siebteljuden bezeichnen könnte!



So, jetzt brauchen wir nur noch ein paar Freiwillige!